Питання адаптації операційної системи підприємства до зміни обсягу зайнятості досі вивчалося нами лише в технічному аспекті. Розглядались технічно можливі варіанти досягнення заданих обсягів роботи, кожен з яких характеризувався певною кількістю одиниць обладнання, часом та інтенсивністю його використання. Наступним етапом у дослідженні вказаної проблеми має стати розгляд питання, пов’язаного з економічною ефективністю процесу адаптації. Процес адаптації вважається економічно ефективним, або оптимальним, якщо з усіх технічно можливих варіантів він виявляється найдешевшим для підприємства, тобто загальні витрати, що пов’язані з випуском заданої кількості кінцевої продукції, є мінімальними. Задача оптимальної адаптації агрегатів за критерієм мінімуму витрат на даний момент не має вичерпного розв’язку. Нижче розглядається механізм оптимальної адаптації для деяких постановок цієї задачі.
Припустимо, що при виготовленні продукції використовується М функціонально різних типів агрегатів. Для виконання роботи в розпорядженні підприємства є тільки одна машина кожного типу.
Формула загальних витрат виробництва, у даному разі матиме такий вигляд:
, (12.2)
де Сз(N) — загальні змінні витрати виробництва;
— змінні витрати, пов’язані з ресурсами (сировина, матеріали), що споживаються при роботі агрегату і-го функціонального типу;
Сп — постійні витрати виробництва.
У свою чергу, постійні витрати виробництва можна зобразити як суму загальних витрат, необхідних для підтримування виробничої готовності підприємства, позначених символом , та загальних витрат, пов’язаних з використанням засобів праці (агрегатів). Останні можна подати у вигляді суми витрат на використання та експлуатацію для окремих груп агрегатів залежно від їх функціонального типу (у нашому випадку в кожну групу входить по одній машині). Таким чином, вираз (12.2) трансформується у вираз:
. (12.3)
Символом позначені витрати, пов’язані з використанням та експлуатацією агрегату і-го функціонального типу.
Позначимо витрати ресурсу j, що споживається на і-му агрегаті, через rji, , ціну ресурсу — Ц j, тоді витрати за ресурсом j на даному агрегаті і — Сji(N) визначаються множенням витрат rji на ціну Ц j. Витрати на ресурси, що споживаються, для всіх агрегатів, які використовуються, у даному випадку обчислюються так:
. (12.4)
Наведену формулу можна записати трохи інакше, якщо витрати j-го ресурсу на і-му агрегаті rjі виразити через норму витрат
j-го ресурсу на одиницю кінцевої продукції на і-му агрегаті aji та обсяг виконаної на цьому агрегаті роботи N.
Цілком очевидно, що rjі = ajiN. Норма витрат аjі, взагалі кажучи, не є величиною постійною. Вона залежить від технічних параметрів роботи агрегату, серед яких особливе місце займає інтенсивність його використання λ.
Припускаючи всі технічні параметри роботи агрегату за винятком інтенсивності λ незмінними, норму витрат аjі можна вважати величиною, залежною лише від інтенсивності:
аjі = аjі (λі). (12.5)
Вираз (12.4) можна тепер переписати так:
. (12.6)
Сума у виразі (12.6) показує витрати на одиницю продукції на і-му агрегаті. Позначимо їх символом У результаті вираз (12.6) перетвориться в такий:
. (12.7)
Отже, завдання оптимізації адаптації стосовно встановленої зайнятості N при
, (12.8.1)
у формалізованому вигляді записується так:
(12.8.2)
за умов
, , (12.8.3)
, , (12.8.4)
, . (12.8.5)
Загальні витрати виробництва С(N) будуть мінімальними для даного обсягу випуску, якщо будуть мінімальними витрати на ресурси, що споживаються, за всіма типами агрегатів Сз(N).
Через те, що в даній постановці задачі є тільки одна машина кожного функціонального типу, то в межах типу агрегату, який застосовується, немає кількісної адаптації. Це означає, що мінімізація загальних витрат виробництва заданого обсягу випуску N здійсненна шляхом оптимального вибору величини часу роботи tі та інтенсивності використання λі, за яких витрати на ресурси, що споживаються, по кожному агрегату і є найменшими.
Розглянемо зміну величини витрат при адаптації певного агрегату за часом та інтенсивністю.
На рис. 12.2 зображено графік функції витрат на одиницю продукції для і-го агрегату , у випадку використання на цьому агрегаті ресурсів двох видів j1 та j2.
Наведену функцію одержуємо шляхом додавання функцій та . З рис. 12.2 видно, що функції , є опуклими униз і досягають мінімуму за оптимальних інтенсивностей відповідно λi*1 та λi*2. Функція також є опуклою як сума двох опуклих функцій. Її мінімум досягається при оптимальній інтенсивності роботи λi*, причому λi* ≠
≠ λi*k, k = .
Якщо помножити функцію витрат на одиницю продукції для
і-го агрегату на інтенсивність роботи λi, то одержимо функцію, яка показує витрати за одиницю часу на і-му агрегаті при його використанні. Позначимо цю функцію символом Cti, тоді
(12.9)
Графік указаної функції наведено на рис. 12.2. На ньому видно, що функція Cti є нелінійною, зростаючою, має дві ділянки опуклості: спочатку вона опукла уверх, а потім униз.
З формули (12.9) випливає, що при фіксованій інтенсивності роботи λi функція Cti перетворюється в константу, тобто змінні витрати на ресурси, що використовуються, для і-го агрегату протягом часу виробництва зростають лінійно.
Це положення ілюструє рис. 12.3, на якому показана адаптація за часом стосовно лінійної динаміки функцій та . Обсяги виробництва, позначені на рисунку символами та відповідають граничним значенням виробничої потужності і-го агрегату при фіксації інтенсивності роботи λi на рівні та відповідно, тобто , .
Коли ж фіксується час роботи tі, то залежність між обсягом випуску продукції N та витратами є нелінійною. На рис. 12.3 подано графіки функцій витрат та , які відображають це твердження.
Порівнюючи функції витрат на рис. 12.3, бачимо, що на агрегаті і можна виготовити кінцеву продукцію з найменшими витратами шляхом зміни часу при оптимальній інтенсивності , якщо кінцева продукція змінюється в межах від 0 до N0.
Для обсягів випуску пристосування здійснюється інакше: за допомогою зміни інтенсивності , при цьому час роботи tі — максимальний . Тільки в цьому разі забезпечується виробництво з мінімальними витратами. Таким чином, можна записати функцію змінних витрат , обумовлених ресурсами, що споживаються на і-му агрегаті, при адаптації за допомогою комбінування часу та інтенсивності роботи:
(12.10)
Тепер від розгляду витрат при комбінованій адаптації для одного агрегату перейдемо до питання мінімізації витрат на експлуатацію обладнання при комбінованій адаптації для кількох функціонально однакових агрегатів.
Передусім зауважимо, що для вказаної проблеми можливі різні формулювання задач. Нехай у розпорядженні підприємства для виготовлення кінцевої продукції є кілька агрегатів (машин) одного функціонального виду, але таких, що потребують різних витрат: n = 1, …, L. Агрегати одного і того самого виду розрізняються між собою функціями витрат на одиницю продукції . У зв’язку з цим постає завдання комбінованої адаптації, суть якого полягає у визначенні відповідних адаптаційних параметрів операційної системи підприємства (комбінація агрегатів із наявних на підприємстві, інтенсивність та час їх роботи) для виготовлення необхідної кількості кінцевої продукції N з найменшими витратами.
У формалізованому вигляді задача може бути представлена так:
(12.11.1)
за умов
, (12.11.2)
(12.11.3)
, (12.11.4)
, (12.11.5)
, (12.11.6)
Зауважимо, що цільова функція охоплює тільки змінні витрати, пов’язані з виготовленням продукції.
Крім того, для кожної функції витрат Cзn(Nn) дійсні висновки викладеної вище задачі комбінованої адаптації для одного агрегату. Тобто на кожній машині n виготовляється деяка частина загального обсягу випуску N із найменшими витратами або при оптимальній інтенсивності її роботи та адаптації за часом або при максимальному часі роботи та адаптації за інтенсивністю використання.
З урахуванням сказаного функції витрат агрегатів можуть бути специфіковані так:
(12.12)
Розглянемо далі числовий приклад оптимізації комбінованої адаптації до зміни обсягу кінцевої продукції [12, c. 467]. Вихідні дані прикладу подано в табл. 12.1.
Таблиця 12.1
ВИХІДНІ ДАНІ ЗАДАЧІ ОПТИМІЗАЦІЇ КОМБІНОВАНОГО
ПРОЦЕСУ АДАПТАЦІЇ ДО ЗМІНИ ОБСЯГУ ЗАЙНЯТОСТІ
| n | , од./год | , од./год | , од./год | , од./год | , грн. |
| 1 | 0 | 22 | 0 | 8 | + 17,4 |
| 2 | 0 | 23 | 0 | 8 |
З табл. 12.1 видно, що в прикладі припускається наявність двох (n = 1, 2) функціонально однакових, але різних за витратами агрегатів. Максимальний час роботи агрегатів — 8 год. Максимальна інтенсивність їх роботи різна і становить 22 та 23 одиниці продукції за годину для першого і другого агрегатів відповідно. Задача розв’язується у два етапи. На першому етапі попередньої оптимізації формулюються функції витрат для кожного агрегату з урахуванням їх адаптації за часом та інтенсивністю роботи. На другому етапі здійснюється основна адаптація, тобто визначається мінімальне за витратами використання обладнання. Щоб визначити оптимальну інтенсивність використання агрегатів , продиференціюємо їх функції витрат на одиницю продукції , прирівняємо перші похідні до нуля та з одержаних співвідношень знайдемо шукані величини. Через те, що
,
, то , .
При знайдених інтенсивностях та на машинах досягаються мінімальні витрати на одиницю продукції в гривнях: , . Згідно з (12.12) вони відповідають змінним витратам і одночасно є граничними витратами виробництва на агрегатах на проміжку адаптації за часом. Функції витрат машин для часової адаптації одержуємо шляхом їх множення на обсяг випуску Nn. Верхня межа адаптації за часом Nn′ відповідає обсягу виробництва при оптимальній інтенсивності та максимальному часі роботи . У розглянутому прикладі він дорівнює 144 та 120 одиниць кінцевої продукції для першого та другого агрегатів відповідно.
Максимальна потужність машин установлюється на рівні (од.), (од.). Для обсягу зайнятості агрегатів в інтервалі машини повинні адаптуватися за інтенсивністю роботи при максимальному використанні часу. У нашому випадку цей інтервал буде від 144 до 176 та від 120 до 184 одиниць продукції на першому і другому агрегатах відповідно. Максимальна кількість кінцевого продукту, яка може бути виготовлена на двох машинах, дорівнює сумі (од.). Щоб одержати функцію витрат при адаптації за інтенсивністю , необхідно показати у функціях витрат на одиницю продукції параметр λn у вигляді відношення і помножити їх на обсяг випуску Nn.
У табл. 12.2 наведені функції витрат двох машин для різних ділянок адаптації.
Таблиця 12.2
ФУНКЦІЇ ВИТРАТ АГРЕГАТІВ ПРИ АДАПТАЦІЇ ЗА ЧАСОМ
ТА ІНТЕНСИВНІСТЮ ЇХ РОБОТИ
| n | , грн. | , од. | , грн. | , од. |
| 1 | ||||
| 2 |
Другий етап основної оптимізації може здійснюватися двома шляхами. Перший шлях базується на функціях граничних витрат, а другий використовує метод динамічного програмування. Далі, в продовження запропонованого прикладу, детально викладається процес оптимальної адаптації за допомогою функцій граничних витрат. Для методу ж динамічного програмування буде вказана лише його загальна схема без розгляду практичного прикладу.
Нагадаємо, що сформульована раніше задача адаптації агрегатів з різними витратами за їх кількістю, часом та інтенсивністю роботи не припускає постійних витрат, пов’язаних з роботою засобів праці. Через те, що на проміжку адаптації за часом функції витрат машин мають лінійний характер, то на ній граничні витрати обладнання зі збільшенням обсягів випуску Nn постійні. На проміжку ж адаптації за інтенсивністю граничні витрати машин збільшуються, що пов’язано з особливостями функції витрат на одиницю продукції для цього проміжку.
Отже, розподіл виробництва продукції з мінімальними витратами здійснюється так. Спочатку потрібно завантажити агрегат з найменшими граничними витратами. Обсяг випуску, що закріплюється за ним, можна збільшувати доти, доки дозволяє його потужність, а граничні витрати не перевищують найменших граничних витрат якого-небудь іншого агрегату при адаптації за часом. Коли остання умова не виконується, завантажується відповідний агрегат з найменшими граничними витратами. Таким чином виробництво продукції розподіляється між машинами в порядку менших витрат у межах їх потужності.
Проілюструємо сказане, використовуючи дані табл. 12.3, у якій вказані функції граничних витрат двох агрегатів із запропонованого вище числового прикладу.
Таблиця 12.3
ФУНКЦІЇ ГРАНИЧНИХ ВИТРАТ АГРЕГАТІВ ПРИ АДАПТАЦІЇ
ЗА ЧАСОМ ТА ІНТЕНСИВНІСТЮ ЇХ РОБОТИ
| n | , грн. | , од. | , грн. | , од. |
| 1 | 6,6 | |||
| 2 | 7,9 |
З табл. 12.3 видно, що агрегат 1 має менші граничні витрати при адаптації за часом. Отже, він включається в роботу першим з оптимальною інтенсивністю .
При цьому може бути вироблено до одиниць продукції. Далі агрегат 1 адаптується за інтенсивністю доти, доки граничні витрати для нього не стануть дорівнювати граничним витратам на агрегаті 2 при адаптації його за часом, тобто до 7,9. За рівнянням
знаходимо відповідне значення λ1 = 19, звідки N = N1 = 19 ⋅ 8 =
= 152. На даному рівні виробництва вводиться в роботу агрегат 2 при оптимальній інтенсивності використання . Тут адаптація за часом здійснюється до обсягу випуску в одиниць продукції. Таким чином, в інтервалі випуску [152—272] агрегат 2 адаптується за часом. Для більших обсягів виробництва перший та другий агрегати адаптуються за інтенсивністю, маючи однакові зростаючі граничні витрати, доки вони не досягнуть рівня . Для цього рівня граничних витрат на агрегаті 1 досягається межа потужності одиниць продукції; на агрегаті 2 виготовляється одиниць продукції; при цьому інтенсивність його використання λ2 дорівнює 20 , тобто є можливість її підвищення. Отже, для N ≥ 336 за інтенсивністю адаптується тільки другий агрегат.
Межа можливостей адаптації машин за часом та інтенсивністю їх роботи досягається для обсягу випуску 176 + 184 = 360 (од.).
Сутність методу динамічного програмування для комбінованої адаптації до заданого обсягу випуску N полягає в тому, щоб послідовно розподілити його виробництво між наявними агрегатами на частини Nn. Критерієм оптимізації в цьому випадку є загальні витрати виробництва. Кожний етап оптимізації здійснюється включенням у розрахунок наступного агрегату. За допомогою цього методу задача (12.11.1) – (12.11.6) з L змінними Nn поділяється на L взаємозалежних часткових задач, кожна з яких має одну змінну. На основі рішення цих часткових задач рекурсивно визначаються оптимальні Nn для заданого N. Нехай L агрегатів уключаються в розрахунок у порядку 1…, n, …, L, тоді схема визначення оптимальних обсягів випуску Nn за допомогою динамічного програмування запишеться так:
, (12.13.1)
, (12.13.2)
, (12.13.3)
. (12.13.4)
Для , , (12.13.5)
(12.13.6)
має місце
, (12.13.7)
причому
, (12.13.8)
, (12.13.9)
(12.13.10)
На першому етапі розв’язується функція витрат агрегату, який уводиться в роботу першим; при цьому враховується межа потужності (обмеження (12.13.2)) та береться дискретне цілочисельне змінення кількості продукції N1 (обмеження (12.13.3)). Ця функція позначена як G1(N). На другому етапі в розрахунок уводиться другий агрегат. Заданий цілочисельний обсяг випуску N розподіляється між двома машинами з урахуванням досягнення найменших витрат, (обмеження (12.13.5)). Знову береться до уваги межа потужності, дискретне цілочисельне змінення рівня зайнятості (обмеження 12.13.8, 12.13.10).
На n-му етапі в розрахунок уводиться n-ий агрегат (n = 1, …, L). Обсяг випуску кінцевої продукції N на цьому етапі розподіляється за критерієм мінімуму витрат (формула 12.13.7) між агрегатом n, який щойно залучається і на який припадає Nn одиниць продукції та раніше задіяними на n-1 етапах розрахунку n-1 агрегатами з випуском N – Nn. Процес розподілу закінчується після виконання L етапів розрахунку.