3.1. Лінійна статична міжгалузева модель
Сучасний стан виробничих сил розвинених країн характеризується складною та динамічною галузевою структурою. За цих умов, дедалі більшого значення набуває ретельний розрахунок структури міжгалузевих зв’язків. Для цього розроблений спеціальний метод міжгалузевого аналізу, а моделі, побудовані на його підставі, дістали назву “витрати-випуск”, або міжгалузеві моделі.
Предметом міжгалузевого аналізу є визначення параметрів, що зумовлюють взаємопов’язаний розвиток окремих галузей. Міжгалузевий аналіз як метод економічної роботи полягає у визначенні й кількісному вимірюванні показників, що характеризують міжгалузеві зв’язки, залежність цих зв’язків від кількості ресурсів (праця і капітал), які використовуються кожною галуззю. В цьому плані можна вирізнити два аспекти міжгалузевого аналізу – статистичне вимірювання наявних у народному господарстві зв’язків і прогнозування цих зв’язків.
- Міжгалузевий баланс (МГБ) є найвідомішим серед міжгалузевих моделей, головна позитивна якість котрих, як інструменту прогнозових розрахунків полягає у тому, що вони грунтуються на попередньому визначенні суспільних потреб.
Якщо описувати економічну систему загалом, то під балансовою моделлю мають на увазі систему рівнянь, кожне з яких виражає балансові співвідношення між виробництвом окремими економічними об’єктами обсягів продукції й сукупною потребою в цій продукції. За такого підходу досліджувана економічна система складається з об’єктів, кожен із яких випускає певний продукт, частина якого споживається ним самим та іншими об’єктами системи, а решта виводиться за межі системи як її кінцева продукція. Можна також розглядати приклади балансової відповідності, тобто: відповідність наявної робочої сили й кількості робочих місць, платоспроможного попиту населення та продукції (товарів і послуг) тощо.
Балансові моделі на підставі звітних балансів характеризують наявні пропорції, де ресурсна частина завжди дорівнює витратній. Для виявлення диспропорцій використовують балансові моделі, в яких фактичні ресурси мають узгоджуватися не лише з їхнім фактичним споживанням, а й із потребою в них. Зазначимо, що балансові моделі не містять конкрентного механізму порівняння окремих варіантів економічних рішень і не передбачають взаємозаміни різних видів ресурсів, що внеможливлює вибір оптимального варіанта розвитку економічної системи. Власне, це й зумовлює певну обмеженість балансових моделей і балансового методу загалом.
Підгрунтям інформаційного забезпечення балансових моделей в економіці становить матриця коефіцієнтів витрат ресурсів за конкретними напрямами їхнього використання. Наприклад, у моделі міжгалузевого балансу таку роль відіграє так звана технологічна матриця – таблиця міжгалузевого балансу, що складається з коефіцієнтів (нормативів) прямих витрат на виробництво одиниці продукції. Із багатьох причин вхідні дані реальних об’єктів господарювання не можуть бути використані в балансових моделях безпосередньо, тому підготовка інформації для розрахунків за моделлю є доволі складною проблемою.
Балансові моделі будуються як числові матриці – прямокутні таблиці чисел. У зв’язку з цим балансові моделі належать до типу матричних економіко-математичних моделей. У матричних моделях балансовий метод дістає чітке математичне вираження. Попри специфіку цих моделей їх об’єднує не лише спільний формальний (математичний) апарат побудови та єдиний алгоритм обчислень, а й аналогічність низки економічних характеристик. Це дає змогу розглядати структуру, зміст і основні залежності матричних моделей на прикладі міжгалузевого балансу та розподілу продукції у народному господарстві. Цей баланс відображає виробництво та розподіл суспільного продукту в галузевому розрізі, міжгалузевих виробничих зв’язків, використання матеріальних і трудових ресурсів, створення й розподіл валового внутрішньо продукту.
Принципову схему моделі МГБ зображено на рис. 3.1.1. У підґрунтя цієї схеми покладено розподіл сукупного продукту на дві частини: проміжний і кінцевий продукт; усе народне господарство подано тут як сукупність галузей (чисті галузі). Кожна з цих галузей фігурує у балансі як виробник і як споживач.
Розглянемо схему моделі в розрізі її блоків, що мають різний економічний зміст. Їх зазвичай називають квадрантами (на схемі квадранти позначено римськими цифрами).
Перший квадрант МГБ – це таблиця міжгалузевих потоків. Показники, що містяться на перетині рядків і стовпчиків, є обсягами міжгалузевих потоків продукції , і та j – відповідно номери галузей споживання. Перший квадрант за формою є квадратною матрицею n-го порядку, сума всіх елементів якої дорівнює річному фонду споживання засобів виробництва у матеріальній сфері.
У другому квадранті подано валову внутрішню продукцію кінцевого використання (витрати на кінцеве споживання, валове нагромадження та чистий експорт) всіх галузей матеріального виробництва. На схемі цей розподіл подано в узагальненому вигляді як один стовпчик величин .
Третій квадрант також характеризує ВВП за категоріями доходу –відображає процеси розподілу валової доданої вартості й утворення чинникових доходів учасників суспільного виробництва. В цьому розділі прогнозуються такі показники як заробітна плата найманих працівників, податки на виробництво та імпорт, субсидії на виробництво та імпорт, валовий прибуток.
Четвертий квадрант відбиває розподіл і використання національного доходу. Внаслідок перерозподілу створеного національного доходу утворюються кінцеві доходи населення, підприємств, держави. Дані четвертого квадранта важливі для відображення в міжгалузевій моделі балансу доходів і витрат населення, джерел фінансування капіталовкладень, поточних витрат невиробничої сфери, для аналізу загальної структури доходів за групами споживачів.
| Проміжне споживання (CI) | ВВП за категоріями використання
GDP(V) |
Всього використано | ||||||
| 1 | 2 | 3 | … | п | ||||
| 1 |
I |
Y1(V) | X1 | |||||
| 2 | Y2(V) | X2 | ||||||
| 3 | Y3(V) | X3 | ||||||
| … | … II | … | ||||||
| п | Yn(V) | Xn | ||||||
| Проміжне споживання (CI) | CI1 | CI2 | CI3 | … | CIn |
IV |
||
| ВВП за категоріями доходів GDP(D) | Y1(D) | Y2(D) | Y3(D) | III… | Yn(D) | |||
| Валовий випуск (GP) | X1 | X2 | X3 | … | Xn | |||
Рис. 3.1.1. Принципова схема моделі витрати-випуск
Розглядаючи схему балансу за стовпчиками, можна дійти висновку, що сума проміжного споживання будь-якої галузі та її валової доданої вартості дорівнює валовому випуску продукції цієї галузі:
. (3.2.1)
Розглядаючи МГБ за рядками для кожної галузі-виробника, бачимо, що використана продукція будь-якої галузі дорівнює сумі матеріальних витрат галузей, які споживають її продукцію, витрат на кінцеве споживання продукції цієї галузі та чистого експорту:
(3.2.2)
Підсумовуючи за j систему рівнянь (3.2.1), дістаємо
. (3.2.3)
Аналогічно, підсумовуючи за i систему рівнянь (3.1.2), дістаємо
(3.1.4)
Звідси легко помітити, що
(3.1.5)
Це рівняння демонструє, що в міжгалузевому балансі дотримано принцип еквівалентності складу доходів і використання ВВП.
Підгрунтям інформаційного забезпечення моделі міжгалузевого балансу слугує технологічна матриця, що містить коефіцієнти прямих матеріальних витрат на виробництво одиниці продукції. Ця матриця є базою економіко-математичної моделі міжгалузевого балансу.
Передбачено гіпотезу, згідно з якою для виробництва одиниці продукції у j-й галузі необхідна певна кількість витрат проміжної продукції і-ї галузі, що становить аіj, і ця величина не залежить від обсягів виробництва в j-й галузі та є доволі стабільною величиною в часі. Величини аіj називають коефіцієнтами прямих матеріальних витрат та обчислюють таким чином:
(3.1.6)
Коефіцієнти прямих матеріальних витрат показують, яку кількість продукції і-ї галузі необхідно витратити, якщо враховувати лише прямі витрати, для виробництва одиниці продукції j-ї галузі. З економічного тлумачення цих коефіцієнтів виходить, що та .
З урахуванням формули (3.1.6) систему рівнянь балансу (3.1.1) можна записати у вигляді:
і = 1,2,…n. (3.1.7)
Якщо залучити до розгляду матрицю коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А = (аij), вектор-стовпчик кінцевого використання продукції X та вектор-стовпчик ВВП – Y, тоді система рівнянь (3.1.7) у матричній формі матиме вигляд:
X = AX+Y,
або Х – АХ = Y. (3.1.8)
Систему рівнянь (3.1.7), чи у матричній формі (3.1.8), називають моделлю міжгалузевого балансу, або моделлю Леонтьєва, або моделлю «витрати–випуск». За допомогою цієї моделі можна здійснити такі варіанти обчислень:
- задаючи в моделі обсяги кінцевого використання продукції кожної галузі (Хi), можна визначити обсяги ВВП кожної галузі (Y):
(E-A)X = Y , (3.1.9)
де Е – одинична матриця n-го порядку;
- задаючи обсяги ВВП усіх галузей (Y,), можна визначити обсяги використання продукції кожної галузі (Хi):
X=(E-A)-1Y; (3.1.10)
- можна прогнозувати динаміку технологічних коефіцієнтів аij.
Зазначимо, що рівняння (3.1.9) та (3.1.10) мають розв’язок, оскільки матриця (E-A) належить до цілком досліджених в алгебрі матриць із невід’ємними діагональними й недодатними недіагональними елементами [35] і для неї існує матриця (Е-А)-1. Введемо таке позначення:
В = (Е-А)-1. (3.1.11)
Систему рівнянь у матричній формі (3.1.10) можна записати:
X = BY. (3.1.12)
Елементи матриці В позначатимемо через bij, тоді з матричного рівняння (3.2.12) для будь-якої i-ї галузі можна отримати співвідношення:
. (3.1.13)
Коефіцієнти bij називають коефіцієнтами повних матеріальних витрат. Вони містять як прямі, так і опосередковані витрати всіх порядків. Якщо прямі витрати відбивають кількість засобів виробництва, використаних безпосередньо на виготовлення певних обсягів конкретного продукту, то опосередковані стосуються попередніх стадій виробництва і залучаються у виробництво продукції не прямо, а через інші (проміжні) засоби виробництва.
Коефіцієнти повних матеріальних витрат bij показують, який обсяг продукції і-ї галузі необхідно виробити, щоб з урахуванням прямих і опосередкованих витрат цієї продукції отримати одиницю продукції кінцевого використання j-ї галузі. Коефіцієнти повних матеріальних витрат можна застосовувати, коли необхідно визначити, як вплинуть на валовий випуск певної галузі деякі зміни щодо обсягів випуску кінцевої продукції усіх галузей.
Разом із коефіцієнтами прямих та повних витрат у аналізі міжгалузевих пропорцій розглядають також коефіцієнти розподілу продукції. Вони визначаються так:
. (3.1.14)
Коефіцієнти розподілу hij характеризують частку випуску продукції галузі та спожиту в галузі j. Оскільки функція витрат на виробництво в моделі міжгалузевого балансу виражається у формі xij = aijXj, після її підставлення в (3.1.14) можна знайти співвідношення між коефіцієнтами витрат і коефіцієнтами розподілу:
(3.1.15)
або в матричному вигляді:
, (3.1.16)
де H – матриця коефіцієнтів розподілу hij;
– діагональна матриця валових випусків.
З (3.1.16) випливає, що матриці коефіцієнтів A та H подібні, тому вони мають однаковий ранг і визначник, тобто матриця (E-H) не вироджена, а також однакові спектри власних значень, що визначає продуктивність матриці H. Ці властивості можна використати для побудови системи рівнянь витрат на виробництво, яка виходить із співвідношень
Після підстановки у ці співвідношення значень xij з (3.1.14) одержимо
(3.1.17)
Виходячи зі значень ВВП за категоріями доходів, що задаються екзогенно, за допомогою системи рівнянь (3.1.17) можна визначати значення валових випусків продукції галузей матеріального виробництва. Після відомих перетворень одержуємо (у матричному вигляді):
X'(E — H) = Z’;
X’ = Z'(E — H)-1,
де X’ и Z’ – вектори-рядки відповідно валових випусків та ВВП.
Коефіцієнти hij не дістали широкого застосування у практиці міжгалузевих досліджень, позаяк порівняно із коефіцієнтами aij вони нестабільніші в динаміці. Це безпосередньо випливає з визначення коефіцієнта hij (3.1.15). На його величину, серед тих чинників, які впливають на значення коефіцієнта прямих витрат, справляє вплив і зміна співвідношення між обсягами випуску споживання та постачання. Обсяги випусків хi та хj змінюються під впливом великого набору чинників (динаміка всіх елементів кінцевого продукту й усіх коефіцієнтів прямих витрат), що по-різному впливають на них. Тому припущення стосовно сталі пропорції хjта хi були б нереальними.
Проте, коефіцієнти розподілу можна з успіхом використовувати в низці царин економічного аналізу.
3.2. Прогнозування динаміки коефіцієнтів МГБ
Під час побудови міжгалузевих балансів потрібно зважати на низку додаткових вимог щодо початкової системи коефіцієнтів прямих витрат.
- Коефіцієнт прямих витрат аij є середньозваженою величиною з окремих коефіцієнтів витрат () продукту і на продукт j різних господарських галузей k.
При цьому для виконання (принаймні приблизно) прямої порційної залежності між xij та хj необхідне виконання однієї із таких умов:
- окремі коефіцієнти прямих витрат мають неістотно відрізнятися одне від одного для всіх k;
- питома вага виробництва продукту j різними господарськими галузями має бути практично незмінною.
- Окремі коефіцієнти прямих витрат , своєю чергою, є середньозваженими коефіцієнтів витрат на створення продукту j господарською галуззю k, диференційованих за технологічними варіантами виробництва. Під технологічним варіантом виробництва у цьому разі розуміють окремі підприємства, різні технологічні процеси тощо.
- Коефіцієнти витрат зазвичай є узагальненими нормами витрат одного продукту при виробництві іншого, одержаними шляхом агрегування деталізованих нормативів матеріальних видатків.
Передумова стосовно прямої пропорційної залежності величин витрат предметів праці xіj від значень обсягів випуску продукції Xj насправді може виконуватися лише у певних інтервалах зміни обсягу випуску продукції, для яких зрушення у внутрішній структурі випуску продукції (як у плані співвідношення господарських галузей і технологічних варіантів виробництва, так і з огляду на склад продуктів деталізованої номенклатури) не приводять до суттєвих змін коефіцієнтів прямих витрат aij. Інакше кажучи, кожному інтервалу обсягу виробництва має відповідати певне значення коефіцієнта прямих витрат aij.
Коефіцієнти аіj виражають пряму пропорційну залежність між витратами на виробництво і випуском продукції у межах одного часового інтервалу (як правило, року). Для розрахунків на перспективні періоди треба знати, як змінюватимуться ці коефіцієнти [35].
Під час першого формулювання передумов моделі «витрати-випуск» В.Лєонтьев висунув гіпотезу, що коефіцієнти aij незмінні в часі. Початкові дослідження моделей «витрати-випуск» були спрямовані на перевірку цієї гіпотези. Такий аналіз грунтується на простому зіставленні обсягу виробництва продукції за будь-який рік з їхніми гіпотетичними обсягами, розрахованими з огляду на те, що коефіцієнти витрат не змінилися порівняно з іншим, як правило, попереднім періодом. Звісно, такий аналіз можливий лише за наявності звітних матриць міжгалузевих балансів за кілька років, побудованих за єдиною методологією.
Ці гіпотетичні обсяги визначалися таким чином:
Xt+τ = ( E – A )-1Yt+τ, (3.2.1)
де Xt+τ – вектор гіпотетичних обсягів виробництва в році t+τ;
At – матриця коефіцієнтів прямих витрат року t;
Yt+τ – вектор кінцевого продукту року t+τ.
Такі дослідження проводили стосовно кількох країн за певний період часу. Аналіз даних засвідчив, що гіпотеза стосовно незмінності коефіцієнтів може спричинити до істотних викривлень реальних показників обсягів виробництва. Рівень цих викривлень неоднаковий як для різних галузей, так і для різних періодів часу. Це зумовлено розбіжностями у тенденціях технічного прогресу в різні періоди, що впливають на величину коефіцієнтів, та специфічними особливостеями окремих галузей тощо. Водночас ці дані свідчать, що в багатьох випадках викривлення даних щодо обсягів виробництва, зумовлених незмінністю коефіцієнтів, порівняно невеликі.
З метою аналізу динаміки коефіцієнтів прямих витрат В.Лєонтьєв запропонував використовувати величини їхніх відносних змін ():
, (3.2.2)
а також показники зважених відносних змін коефіцієнтів ():
. (3.2.3)
Зважені відносні зміни більш придатні для аналізу, оскільки в разі використання їх враховують реальні обсяги видатків галузей і пов’язаний із цим рівень значущості коефіцієнтів залежно від розміру випуску галузі.
Як свідчать результати досліджень для низки країн, зміни коефіцієнтів витрат порівняно менше визначають зміни структури виробництва, ніж зміни обсягу й структури. Міру впливу зміни коефіцієнтів аij і кінцевого використання ВВП на обсяг і структуру виробництва можна визначити таким чином:
Xt+τ – Xt = ( E – At+τ)-1Yt+τ – ( E – At )-1Yt =
=[( E – At+τ)-1Yt+τ – ( E – At+τ)-1Yt] +[( E – At+τ)-1Yt – ( E – At)-1Yt]. (3.2.4)
Перший доданок формули (3.2.4), узятий у квадратні дужки, характеризує вплив зміни кінцевого використання ВВП на динаміку обсягу і структуру виробництва за період від року t до року t+τ; другий доданок квадратних дужках –вплив змін коефіцієнтів.
Як зазначалося вище, використання в динаміці незмінних коефіцієнтів витрат подеколи може спричинитися до вельми суттєвого викривлення прогнозових обсягів виробництва продукції галузей.
Розроблення підходів до визначення коефіцієнтів витрат на перспективний період.
- Найпростіший підхід полягає в екстраполяції динаміки коефіцієнтів. Для нього можна скористатися різноманітними гіпотезами щодо характеру динаміки, зокрема:
тощо.
де α, β, γ, ε – статистичні параметри.
Такий підхід малопридатний для практичного застосування. Для його реалізації потрібні доволі репрезентативні динамічні ряди коефіцієнтів за кілька років поспіль.
- Інший можливий підхід пов’язаний із аналізом чинників, які впливають на величину коефіцієнтів. Найпростішу реалізацію цього підходу запропонував відомий англійський економіст Р. Стоун – це метод RAS.
Основні положення цього методу є такими.
- У результаті розвитку виробництва і технічного прогресу місце одних продуктів у складі матеріальних витрат заступають інші, тож коефіцієнти витрат одних видів продукції зростають, інших – зменшуються. Рівень збільшення або зменшення коефіцієнтів визначають за допомогою спеціального множника rt, однакового для і-го рядка матриці коефіцієнтів прямих витрат, який характеризує загальний ефект заміщення для продукції і-го виду. При цьому можливі три випадки:
ri > 1, тобто в майбутньому відбудеться збільшення питомих витрат i-гo продукту на виробництво інших видів продукції;
rl < 1, тобто в майбутньому відбудеться зменшення питомих витрат i-гo продукту на виробництво інших видів продукції;
rt = 1, тобто в майбутньому питомі витрати i-гo продукту на виробництво решти продуктів залишаться незмінними.
- Прогноз розвитку виробництва пов’язаний зі зміною пропорцій між витратами живої й матеріалізованої праці, через що змінюється питома вага матеріальних витрат предметів праці в загальній вартості випуску продукції галузей.
В одних галузях у зв’язку із розширенням виробництва і дією інших чинників ця питома вага зменшується, в інших – збільшується, у третіх залишається незмінною. Рівень збільшення чи зменшення питомої ваги витрат предметів праці визначають за допомогою коефіцієнтів sj, однакових для j-го стовпчика матриці коефіцієнтів прямих витрат:
sj > 1– збільшення питомої ваги;
sj < 1 – зменшення питомої ваги;
sj = 1 – незмінність питомої ваги.
- Коефіцієнти ri та sj не диференціюються за окремими вида-мих витрат, усі пов’язані з ними зміни пропорційні відповідно для всіх елементів і-го рядка та j-го стовпчика. Отже, прогнозове значення коефіцієнта визначається як результат впливу двох чинників:
aij(1) = riaij(0) sj, (3.2.5)
де (1) та (0) означають величини, які належать відповідно до прогнозовго та базового періодів.
- Коефіцієнти ri та sj вводять до моделі екзогенно.
Із коефіцієнтів ri та sj будуються діагональні матриці R і S:
За допомогою цих матриць матриця А(1) визначається так:
А(1) = RA(0)S.
Отже, в разі застосування методу RAS передбачається, що за зміни коефіцієнтів впродовж прогнозового періоду за рядками й стовпиками виконується строга пропорційність. Справді, прогнозовані коефіцієнти прямих витрат і-го рядка будуть дорівнюватимуть ( ri ai1 s1; ri ai2 s2; ri ai3 s3 . . . ri ain sn ). Усі вони містять однаковий множник ri. Коефіцієнти прямих витрат j-го стовпчика визначатимуться як: ( r1 a1j sj; r2 a2j sj; r3 a3j sj . . . rn anj sj ). Усі вони містять однаковий множник si.
Реально такої пропорційності у зміні коефіцієнтів не існує. Заміщення одних видів матеріалів іншими не відбувається строго пропорційно за всіма напрямами споживання їх. Разом із тим, збільшення або скорочення питомої ваги споживання предметів праці не веде до пропорційної зміни всіх коефіцієнтів відповідних стовпчиків матриці. З урахуванням спільного впливу обох розглянутих чинників дещо пом’якшується строгість такої пропорційності, але вимоги до динаміки коефіцієнтів у разі використання методу RAS залишаються доволі жорсткими. Щоб упевнитися в цьому, розглянемо чотири пари базисних і прогнозних коефіцієнтів, розташованих у рядках і та k і в стовпцях j та l. З (3.2.5) виходить:
Δaij= aij(1) – aij(0) = riaij(0)sj – aij(0) = aij(0) (risj – 1),
звідки
. (3.2.6)
Співвідношення, аналогічні (3.2.6), можна одержати і для інших пар коефіцієнтів:
; (3.2.7)
; (3.2.8)
. (3.2.9)
З (3.2.6) та (3.2.7) виходить (із врахуванням, що aij(1) = aij(0) + Δaij)
sj = = . (3.2.10)
З (3.2.8) та (3.2.9) визначаємо значення ri та rk й підставляємо їх у (3.2.10):
ri = ; rk = ;
= . (3.2.11)
Якщо позначити через λij темп зростання коефіцієнту aij, тобто ,
то (3.2.11) запишеться у вигляді
, (3.2.12)
тобто темпи зміни коефіцієнтів, розташованих на перетині рядків i, k та стовпців j, l, повинні утворювати відповідну пропорцію.
- Прагнення до уточнення коефіцієнтів на перспективу на основі аналізу факторів привело до спроб використати методи кореляційно-регресійного аналізу для планування окремих коефіцієнтів.
Для оцінки факторів, які впливають на величину коефіцієнтів, можуть бути використані:
– параметр, який характеризує вплив на величину коефіцієнта питомої ваги основного продукту в загальному;
– параметр, який характеризує вплив розбіжностей випуску в незмінних цінах;
– параметр, який характеризує вплив співвідношень між змінами цін на продукцію, що споживається та виробляється;
– параметр, який характеризує вплив енергооснащення праці;
– загальна кількість зайнятих у галузі;
– параметр, який характеризує вплив часу тощо.
Такий підхід не отримав широкого застосування для прогнозування динаміки коефіцієнтів в силу того, що ряди динаміки коефіцієнтів практично невідомі і значення аргументів, які впливають на величини коефіцієнтів прямих витрат та необхідних для розрахунку функцій, доволі важко визначити на перспективний період екзогенним шляхом.
- У практичному прогнозуванні значень коефіцієнтів прямих витрат предметів праці широке розповсюдження одержав метод техніко-економічного розрахунку, який припускає використання інформації, що добувається під час розробки народногосподарських програм і планів. У відповідності із цим методом розрахунок коефіцієнтів здійснюється у два етапи: розрахунок коефіцієнтів витрат в натуральному виразі (%); перехід до коефіцієнтів витрат у вартісному виразі.
У розрахунку норм витрат на прогнозний період враховуються прогресивні зміни в технології виробництва, зміни питомої ваги, технологічних варіантів створення одного й того ж виду продукції, зрушення у спеціалізації виробництва, які в свою чергу змінюють співвідношення між галузями, що виробляють даний продукт, та інші фактори. Окрім того, необхідні прогнозні відомості про детальну номенклатуру виробництва окремих видів продукції у складі кожної «чистої» галузі.
Отже, техніко-аналітичний метод доволі вимогливо ставиться до наявності інформації, яка може бути одержана тільки у комплексному процесі прогнозування і поза ним достовірний міжгалузевий баланс на перспективний період не може бути побудований.
3.3. Динамічні багатогалузеві моделі
Розглянута статична модель міжгалузевого балансу характеризується такими рисами, які не дають можливості застосовувати їх в прогнозних розрахунках. Ці ускладнення пов’язані із тим, що за екзогенні елементи ВВП кінцевого використання беруться такі, об’єми й структура яких безпосередньо залежать від ендогенних змінних моделі, тобто від обсягів випуску продукції. В першу це стосується показників, які характеризують обсяг та структуру валового нагромадження. Залежність валового нагромадження від обсягу виробництва продукції найбільш чітко проявляється у динаміці процесу виробництва. Валове нагромадження формується за рахунок продукції виробленої у поточному й попередніх виробничих циклах. Їх результат, у свою чергу, спричиняє вплив на показники обсягу виробництва продукції в наступних періодах. Врахування таких залежностей здійснюється у динамічній моделі міжгалузевого балансу.
Динамічна модель міжгалузевого балансу відрізняється від статичної наступними рисами. Перш за все вона характеризує розвиток народного господарства по роках планового періоду. Стан економіки у році t багато у чому визначає її стан у році t+1 і в подальші роки. Загальна динаміка розвитку народного господарства у даному випадку визначається початковим станом системи, характеристиками структурних параметрів на кожен рік прогнозного періоду та завданнями по тих складових кінцевого використання продукту, які не мають оберненого зв’язку із приростом виробництва в прогнозному періоді. Статична модель тільки фіксує народногосподарську структуру економіки на певний рік прогнозу. Передісторія цього року, а також вплив стану економіки в поточному році на її стан в майбутні роки визначаються поза моделлю.
- На сьогоднішній день розроблені різноманітні типи динамічних моделей за наступною класифікацією.
- З точки зору відображення взаємозалежностей процесу формування
капітальних вкладень від динамічно змінюваними обсягами виробництва можна виділити:
– «напівдинамічні» моделі (рекурсивні моделі з оберненим зв’язком);
- – рекурентні динамічні моделі (моделі поетапного розрахунку);
– «повністю динамічні» моделі.
- За способом математичного описання можна виділити три типи моделей:
- – моделі у вигляді системи лінійних диференціальних рівнянь;
- – моделі у вигляді системи лінійних різницевих рівнянь;
- – моделі у вигляді системи звичайних лінійних.
Система диференціальних і різницевих рівнянь відповідає одному із типів рекурентних динамічних моделей. Це моделі лєонтьєвського типу, які були першим видом динамічних міжгалузевих моделей. Для них характерним є те, що за невідомі змінні вибираються обсяги випуску окремих видів продукції та їх річні прирости. Показники капітальних вкладень або основних виробничих фондів в моделях такого типу безпосередньо не розглядаються, вони можуть бути знайдені після розв’язання моделі як похідні величини від знайдених значень ендогенних змінних.
В моделях, які мають вид системи звичайних лінійних рівнянь, розглядаються два типи невідомих величин, один з яких представляє обсяги виробництва продукції, а другий – капітальні вкладення (або введення в дію основних виробничих фондів або виробничих потужностей, що залежить від конкретного виду моделі). В рекурентних міжгалузевих моделях обсяги капітальних вкладень розглядаються як функції обсягів виробництва даного року, а самі капітальні вкладення спричиняють вплив на обсяги виробництва продукції в майбутні роки. «Повністю динамічні » моделі враховують як прямі, так і обернені зв’язки у часі.
За характером відображення процесу формування капітальних вкладень розрізняють:
– моделі із врахуванням лагових змінних, що характеризують капітальні вкладення із затримкою;
– моделі без врахування лагових змінних капітальних вкладень.
Під лагом капітальних вкладень розуміють часовий інтервал (час затримки) між початком їх здійснення і тим моментом часу, коли вводять нові об’єкти і вони починають впливати на приріст виробництва. Проблема відображення лага капітальних вкладень існує для рекурентних і «повністю динамічних» моделей.
- Найбільш простим типом динамічних моделей є рекурсивні моделі. Основними ендогенними змінними у цих моделях постають показники обсягів виробництва різних видів продукциії на останній рік періоду прогнозування та загальний обсяг капітальних вкладень в основні виробничі фонди кожної «чистої» галузі за весь період. Розподіл капітальних вкладень по роках прогнозного періоду може здійснюватися, наприклад , за допомогою екзогенно задаваємих параметрів wj(t) – питомої ваги капітальних вкладень у галузь j, що здійснюються у році t періоду прогнозування, в загальному обсязі капітальних вкладень за весь період:
(t = 1,2, … , Ω),
де Ω – індекс останнього року прогнозного періоду.
Розрахунки за моделлю відбувються у два етапи. На першому визначаються обсяги виробництва для останнього року періоду і показники капітальних вкладень за весь період. Завданя другого етапу полягає у розрахунку показників виробництва продукції для кожного року періоду прогнозування.
Першому етапу відповідає система із 2п рівнянь та п невідомими величинами виробництва продукції і п невідомими обсягами капітальних вкладень за весь період.
Перші п рівнянь є балансами виробництва і розподілу продукції, а останні п рівнянь – балансами основних виробничих фондів.
Середньорічна наявність основних фондів визначається як сума їх наявності на початок року і середньорічного їх введення в дію за відрахунком середньорічного вибуття фондів:
, (3.3.1)
де – середньорічні основні виробничі фонди галузі j у році t;
– основні виробничі фонди галузі j на початок року t ;
– введення в дію основних виробничих фондів галузі j в році t;
– коефіцієнт основних виробничих фондів (середньорічне вибуття по відношенню до їх наявності);
– коефіцієнт переводу фактичного введення в дію основних виробничих фондів в середньорічний.
Припускається , що коефіцієнти та сталі у часі.
Обсяги наявних основних фондів на початок року t+1 у припущенні їх рівномірного вибуття на протязі року становитимуть
Фj(t + 1) = ( 1 -2)Фj(t)+ ( 1 -2)ΔФj(t). (3.3.2)
Рівномірне вибуття основних фондів на протязі року означає, що фактичне вибуття буде в двічі більше середньорічного вибуття.
В практиці економічних досліджень часто розглядається співвідношення між введенням в дію основних данної галузі й загальним обсягом капітальних вкладень в галузь за будь-який рік Kj (t):
γj = , (3.3.3)
де γj – галузеві коефіцієнти введення в дію основних виробничих фондів.
У даному випадку припускається, що коефіцієнти γj незмінні у часі. Величину галузевих капітальних вкладень можна представити як функцію їх загального осягу для кожної даної галузі за весь період прогнозування Kj за допомогою коефіцієнтів wj (t):
Kj(t) = wj(t)Kj. (3.3.4)
Тоді із врахуванням (3.3.3) та (3.3.4) величина введення в дію основних фондів в році t буде дорівнювати
ΔФj(t) = wj(t)γj Kj. (3.3.5)
Баланси виробництва і розподілу продукції на останній рік прогнозного періоду будуть мати наступний вид:
xi(Ω) = aij(Ω)xj + bij(Ω)wj(Ω)Kj + yi(Ω), (i=1,2,…,n), (3.3.6)
де xi(Ω) – обсяг випуску продукції i-гo виду в останньому прогнозному році;
yi(Ω) – «чистий» кінцевий продукт і-го виду в останньому прогнозному році, який меньше обсягу кінцевого продукту статичної моделі на величину капітальних вкладень в галузі;
bij(Ω) – коефіцієнт структури капітальних вкладень, який характеризує питому вагу засобів праці і-го виду у загальному обсязі капітальних вкладень в j-у «чисту» галузь в останньому прогнозному році.
Баланси основних фондів встановлюють для кожної галузі відповідність між величиною наявних фондів і потребою в них для відповідного року, яка визначається як добуток коефіцієнту фондомісткості на обсяг випуску продукції.
Розв’язок динамічних рекурсивних моделей не визиває особливих труднощів. Невід’ємність валових випусків продукції і обсягів капітальних вкладень, а також стабільність їх динаміки забезпечуються завдяки екзогенному завданню коефіцієнтів wj(t).
При визначенні коефіцієнтів wj(t) на прогнозний період зазвичай виходять з екстраполяції їх значень за минулі періоди або з припущення про постійний темп зростання капітальних вкладень.
Надійні передбачення на основі рекурсивних моделей можна отримати лише для досить агрегованих галузей.
- Перша постановка динамічної міжгалузевої моделі у вигляді системи лінійних диференціальних рівнянь була запропонована В. Лєонтьевим. Ця система, записана у матричному вигляді, имеет следующий вид:
Xt = AtXt + + , (3.3.7)
Де Xt – вектор валових випусків у році t;
– вектор прирощень валових випусків в році t, виражений через похідні величини валових випусків галузей року t за часом;
– вектор кінцевого продукту динамічної моделі;
– (пxn)-матриця коефіцієнтів капіталомісткості (приростної фондоміскості), який характеризує капітальні витрати засобів праці, необходні для прирощення валових випусків продуктів галузей матеріального виробництва на одиницю.
Модель (3.3.7) припускає миттєву реакцію економічної системи на розширення виробництва, оскольки вона описується системою диференційних рівнянь для неперервного часового інтервалу. Реальні економічні системи такою миттєвою реакцією не володіють. Розширення виробництва майже завжди потребує капітальних вкладень, які пов’язані із «замораживанием» засобів праці на період будівництва нових і реконструкції діючих підприємств, на протязі якого розширення вирробництва не може бути здійснене. Для дослідження властивостей розв’язків моделі (3.3.7) розглянемо деякі прості її модифікації.
- Система однорідних рівнянь з постійними коефіцієнтами, тобто при Yt=0; At = А = const; = = const.
Тоді модель (3.3.7) прийме вид:
=(E – A)Xt; X0 = [xi(0)],
де хi(0) – відомі обсяги виробництва продукції галузей матеріального виробництва в базисному періоді (і = 1,…,n).
Загальний розв’язок системи має вид
Xt =,
де = I + (E-A)t + …+[(E-A)]m +…
при m→∞.
- Система неоднорідних рівнянь з постійними коефіцієнтами, тобто при ≠ 0; At = А = const; = = const.
Відповідна цим умовам модель має вид:
=(E – A)Xt – ; X0 = [xi(0)],
а її розв’язок записується так:
Xt =- .
- Система неоднорідних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, які залежать від часу, тобто
Yt ≠ 0; At =A(t); =K(t).
Тоді
=(E-A)Xt – ; X0 = [xi(0)].
Розв’язок цієї системи має вид
Xt = ГtX0 – Гt dτ,
де Гt – матриця, визначена єдиним способом і яка задовольняє матричному диференціальному рівнянню
Г0 = І.
Розв’язок розглянутих систем диференційних рівнянь, невироджений у тому випадку, якщо існує матриця , або, якщо існує матриця .
Важливим питанням побудови динамічних міжгалузевих моделей є забезпечення динамічної стабільності їх розв’язків, тобто поступової траєкторії показників валових випусків у динаміці, що відповідало б реальним умовам функціонування економіки. Між тим в загальному випадку розв’язок розглянутих типів систем диференціальних рівнянь цією властивістю не володіє.
Якщо також врахувати труднощі, які виникають при розв’язанні систем диференційних рівнянь вищих порядків, то стануть зрозумілими усі причини, за якими динамічні міжгалузеві моделі у вигляді систем лінійних диференційних рівнянь не знаходять практичного застосування, а використовуються тільки при теоретичному аналізі.
- Спроби подолати основні недоліки розглянутого типу динамічної міжгалузевої моделі привели до її описання у формі лінійних різницевих рівнянь:
Xt = AtXt + + t, (3.3.8)
де ΔXt – вектор приростів валових випусків в році t у порівняно з роком t-1:
ΔXt = Xt — Хt-1. (3.3.9)
На відміну від системи диференційних рівнянь в даному випадку розглядаються дискретні інтервали, як правило річні. Реакція економічної системи на розширення виробництва, тобто здійснення капітальних вкладень, що забезпечують приріст продукції, повинна відбутися до закінчення річного часового інтервалу. Таке припущення дещо пом’якшує занадто жорсткі вимоги миттєвої реакції, властиві системі диференційних рівнянь, але не усуває їх повністю, оскільки спорудження досить великих виробничих об’єктів триває кілька років.
Розв’язок системи (3.3.8) може бути знайдений за допомогою системи рекурентних співвідношень для послідовних періодів прогнозування починаючи з першого року, якщо відомий вектор валових випусків в базисному році Х0. Для спрощення запису припускаємо, що At = const, = const.
Для першого року , враховуючи (3.3.9), маємо X1 = A1X1 + (Х1 –Х0 )+
або (I – A – )X1 = – X0 .
Розв’язком цієї системи буде
X1 = (I – A – )-1( – X0 ) .
або, якщо (I – A – )= U, то
X1 = U -1 ( – X0 ) . (3.3.10)
Виходячи з цього, для другого року прогнозного періоду одержимо наступне значення вектора валових випусків:
X2 = U -1 ( – X1 ) .
Підставивши значення Х1 з (3.3.10), одержимо
X2 = ( – U -1 )+ ( U -1)2Х0 ,
для третього року періоду
X3 = U -1 [ – ( U -1 )+ ( U -1)2 ] – ( U -1)3Х0 .
У загальному випадку матимемо:
Xt = U -1 [ – ( U -1 )+ ( U -1)2 –… +
+(-1)t-1 ( U -1)t-1] +(-1)t ( U -1)tХ0 , або
Xt = U -1 (-1)τ ( U –1) τ +(-1)t ( U -1)tX0 . (3.3.11)
З (3.3.11) виходить, що продуктивність (тобто умова невід’ємності валових випусків) системи (3.3.8) не виконується автоматично при заданих характеристиках матриць структурних параметрів подібно тому, як це відбувається в статичній моделі при невід’ємних векторах кінцевих продуктів для різних років періоду прогнозування, оскільки в загальний запис розв’язку ці вектори із відповідними матричними множниками входять із знаками, що чергуються.
Дослідження властивостей системи (3.3.8), що забезпечують невід’ємність валових випусків для різних років прогнозу і стабільність (а також монотонність) їх динаміки, є предметом спеціального дослідження.
- Реальні процеси капітальних вкладень мають досить складну часову структуру. В заданому році капітальні вкладення здійснюються для введення в дію об’єктів не тільки у цьому ж і наступних річних проміжках часу, але і в більш віддалені періоди. Розрив у часі між початком здійснення вкладів і початком введення в дію основних виробничих фондів тим більший, чим складніший й крупніший об’єкт, що споруджується у даній галузі.
З іншого боку, введення в дію основних виробничих фондів є результатом капітальних вкладень не тільки даного року, але й попередніх років, кількість яких залежить від тривалості лага у даній галузі.
В табл. 3.3.1 представлена структура капітальних вкладень у часі для періоду прогнозування у 5 років та для лага у 3 роки. Кожний рядок таблиці характеризує розподіл капітальних вкладень, який здійснюється у даному році, необхідних для введення в дію основних фондів у різні роки. З цієї точки зору обсяг капітальних вкладень року t дорівнює
(3.3.12)
де К(t,τ) – капітальні вкладення року t, що здійснюються для введення в дію основних фондів в році τ;
θ – тривалість лага капітальних вкладень.
Стовпці табл. 3.3.1 показують, за рахунок вкладень яких років відбувається введення в дію основних фондів у поточному році. Загальний підсумок стовпця дорівнює
,
де – коефіцієнт, що характеризує відношення обсягу капітальних вкладень, необхідних для введення в дію основних фондів в році τ, до усього обсягу введення.
Обсяг таких вкладень перевищує величину введення за рахунок капітальних витрат, які не збільшують вартість основних фондів. Значення коефіцієнта зазвичай складає величину близьку до одиниці, тому будемо вважати, що = 1,
. (3.3.13)
З точки зору зв’язку капітальних вкладень у виробничу сферу з динамікою процесу виробництва в періоді прогнозування у їх складі можна виділити три основні групи: капітальні вкладення, пов’язані із завершенням будівництва основних фондів, розпочатого ще у передпрогнозному періоді (К0); капітальні вкладення, пов’язані із будівництвом об’єктів, які вводяться в дію протягом періоду прогнозування (Кр) і капітальні вкладення, пов’язані із доробком капітального будівництва для введення в дію об’єктів у післяпрогнозний період (Kf).
Очевидно, що на прирости обсягів виробництва у прогнозному періоді із загального обсягу вкладень безпосередньо впливають тільки величини К0 та Кр.
Величина К0 є заданою і тим самим спричиняє однозначний вплив на показники обсягів виробництва у прогнозному періоді. Тому вона також мусить бути врахована у складі кінцевого продукту, що використовується.
У загальному випадку величину К0 для року t можна записати так:
K0 (t)= при t ≤ θ; K0(t)=0 при t ≥ θ.
Безпосередньо до складу структурних параметрів і невідомих динамічної моделі повинні бути включені показники, що характеризують капітальні вкладення Кр. Щодо величини доробку капітальних вкладень для післяпрогнозного періоду, то він у загальному випадку визначається як:
Kf (t)= при t >Ω – θ; Kf(t)=0 при t ≤ Ω – θ.
де Ω – індекс останнього прогнозного року.
Зафіксувати величину Kf у складі кінцевого продукту відповідно рокам складно, оскільки невідомо, як можна представити розвиток економіки у післяпрогнозному періоді, поки не з’ясовані хоча б основні пропорції її розвитку в минулому й прогнозному періоді. Разом із тим можна встановити певну тенденцію у динаміці капітальних вкладень і введення в дію основних фондів за ряд розташованих . Це дає можливість визначити функціональний взаємозв’язок між величинами Кр й Kf та компонентами, які їх визначають, а отже замість фіксації величин Kf знаходити їх в результаті розв’язування моделі. У підсумку можна встановити наступну залежність між кінцевим продуктом статичної (yi) та динамічної () моделі (до усіх вищенаведених позначень додамо галузевий індекс і):
yi = + Kpi + Kfi,
а у загальному випадку ≤ yi.
Обсяг виробництва продукції, що розглядяється у динамічній міжгалузевій моделі із врахуванням лага капітальних вкладень, визначається потребами у її постачанні для поточного виробничого споживання, для капітальних вкладень Кр та Kf , а також для кінцевого споживання:
xi(t) = aij(t)xj(t) + Kpi(t) + Kfi(t) +(t) , або
xi(t) = aij(t)xj(t) + Kij(t) + ( t). (3.3.14)
Тут Kij(t) – поставки засобів праці і-го виду для здійснення капітальних вкладень у j-у галузь в році t;
(t) = (t) – Kij(t).
В динамічну модель вводяться коефіцієнти структури капітальних вкладень , аналогічні тим, що були використані в моделі (3.3.6):
Kij(t) =Kj(t). (3.3.15)
Як виходить з (3.3.12), капітальні вкладення відбуваються в році t для введення в дію основних фондів у різні роки періоду планування:
Kj(t) = Kj(t,τ), (3.3.16)
де θj – лаг капітальних вкладень в галузі j.
В свою чергу, як було означено у (3.3.13), показники Kj(t,τ) є функціями від значень ΔФj(τ) введення в дію основних фондів даної галузі у році t. Цю залежність можна виразити за допомогою коефіцієнтів часової структури капітальних вкладень vj(t,τ), які характеризують питому вагу капітальних вкладень року t у загальній вартості основних фондів галузі j, введених в дію у році τ:
vj(t,τ) = vj(t,τ) = 1. (3.3.17)
Підставляючи значення Kj(t,τ) з (3.3.17) у (3.3.16), і знайдене таким чином значення Kj(t) у (3.3.15), одержимо
Kij(t) =. (3.3.18)
Враховуючи (3.3.18) баланси виробництва й розподілу продукції (3.3.14) можна записати так:
xi(t) = aij(t)xj(t) + ΔФj(τ)+(t)
або у матричному вигляді:
(E – At)Xt – Vτ,t ΔФτ = ; (t = 1,…,Ω; τ = 1,…,Ω,…,Ω +), (3.3.19)
де – матриця коефіцієнтів ;– діагональна матриця коефіцієнтів vJ(t,τ); ΔФτ – вектор-стовпець галузевих показників введення в дію основних фондів; – максимальна тривалість лага капітальних вкладень.