2.1. Динамічна модель Кейнса. Модель Самуельсона-Хікса
У прогнозуванні економічного зростання широко використовують трендові й економетричні моделі.
Трендові моделі описують розвиток (зміни) доволі стабільної у часі СЕС, особливо її агрегованих показників.
Економетричні моделі, на відміну від трендових, розглядають економічне зростання залежно від одного або кількох найсуттєвіших чинників. Серед економетричних моделей вирізняють прості й складні, односекторальні й багатосекторальні, закриті й відкриті.
- Динамічна модель Кейнса розглядає валовий внутрішній продукт (ВВП) як ендогенну змінну , що змінюється з часом. ВВП складається з чотирьох частин: споживання С; валових окремих внутрішніх інвестицій І; державних видатків на закупівлю товарів і послуг G; чистого експорту Е. У цій моделі економіка вважається закритою, тому чистий експорт дорівнює нулю, а державні видатки розподіляються на споживання і нагромадження:
Y= C+ I.
Передбачається, що попит на інвестиційні товари постійний, а попит на споживчі товари в наступному році є лінійною функцією від ВВП поточного року:
,
де – мінімальний обсяг фонду споживання;
с – нижня межа фонду невиробничого споживання або гранична схильність до споживання, 0 < с < 1.
У динамічній моделі Кейнса запланований випуск товарів кінцевого використання прирівнюють до прогнозованого попиту на них:
Yt+1 = + cYt+ I. (2.1.1)
Цю модель можна застосовувати лише для аналізу й короткотермінового прогнозування поведінки економіки. Вона непридатна для довготермінового прогнозування, оскільки не відображає процесу відтворення, зокрема в ній не враховано вибуття фондів через їх фізичний і моральний знос.
З математичної точки зору модель (2.1.1) є лінійним різницевим рівнянням першого порядку. Розв’язком неоднорідного рівняння є підсумок загального розв’язку однорідного рівняння та часткового розв’язку неоднорідного рівняння (2.1.1).
Розв’язок однорідного рівняння Yt+1 – cYt = 0 будемо шукати у вигляді
Yt = λt, або λt+1 – сλt = 0,
і для визначення λ одержимо характеристичне рівняння
λ – с = 0, λ = с.
Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:
Yt = Асt,
де А – постійна.
Окремий розв’язок неоднорідного рівняння (2.1.1) становить:
.
Спільний розв’язок неоднорідного рівняння має такий вигляд:
Постійна А визначається за допомогою початкового значення Y0:
Y0 = YE + A,
звідки
А = Y0 – YE.
Спільний розв’язок рівняння (2.1.1) має вигляд:
Yt= YE+(Y0 –YE) сt, (2.1.2)
при цьому оскільки 0 < с < 1, тобто Yt – стале значення ВВП.
- Модель Самуельсона-Хікса. Відміна моделі Самуельсона-Хікса від динамічної моделі Кейнса полягає у відмові від сталості інвестицій і введенні їхньої змінної частини, яка пропорційна приросту ВВП поточного року порівняно із минулим роком:
Yt+1 =C+cYt + r(Yt – Yt-1) + I, (2.1.3)
де r – коефіцієнт акселерації (прискорення), 0 < r < 1.
З математичної точки зору модель Самуельсона-Хікса (2.1.3) – лінійне різницеве рівняння другого порядку. Його розв’язок знаходять за допомогою перетворення Лорана [ 34].
Рівняння других різниць (2.1.3) у стандартній формі записують так:
Yt+2 – (r+c)Yt+1 + rYt + +I.
Введемо нові позначення змінних, які забезпечують нульове початкове значення ВВП:
Yt = Y0 + ηt, ηt = Yt – Y0 ,
тоді ηt задовольняє рівнянню:
ηt+2 – (r+c) ηt+1 + ηt =a, η0 = 0, ηt = Yt – Y0. (2.1.4)
де a = + I – (1-c)Y0.
2.2. Виробнича функція
Найвідомішою є двохфакторна модель виробничої функції (ВФ), яка відображає залежність результату виробництва від витрат ресурсів. Під ресурсами (чинниками виробництва) найчастіше розуміють нагромаджену працю у формі виробничих фондів (капіталу) К і дійсну (живу) працю L, а під результатом – валовий випуск X, валовий внутрішній продукт Y або національний дохід N. У будь-якому разі результат стисло називають випуском і позначають Y (це може бути і валовий випуск, і ВВП, і національний дохід).
Іноді як ресурс у виробничу функцію включають залучені до виробництва природні ресурси. Якщо останні практично не змінюються, їх не слід розглядати.
Випуск продукції є функцією від витрат ресурсів (фондів і праці):
Y = F(K, L), (2.1.5)
Виробничу функцію Y=F(K,L), називають неокласичною, якщо вона гладка і задовольняє низку умов, що підлягають природному економічному тлумаченню:
1) F(0,L) = F(K,0) = 0 – за відсутності одного із ресурсів виробництво
неможливе;
2) – із мірою зростання ресурсів випуск зростає;
3) – із мірою збільшення ресурсів швидкість зростання випуску гальмується;
- F(+∞, L) = F(K,+∞) = +∞ – за необмеженого збільшення одного із ресурсів випуск необмежено зростає.
Випуск продукції моделюють за допомогою такої нелінійної ВФ:
, α > 0, β > 0, (2.1.6)
де А – коефіцієнт нейтрального технічного прогресу;
α, β – коефіцієнти еластичності за фондами і працею.
Окремим випадком ВФ (2.1.6) є функція Кобба-Дугласа:
, (2.1.7)
де β = 1 – α.
Мультиплікативна ВФ визначається за часовими рядами випуску і витрат ресурсів (,,), , де – довжина часового ряду, при цьому припускають, що виконуються співвідношень:
, (2.1.8)
де δt – коригувальний випадковий коефіцієнт, який увідповіднює фактичний і розрахунковий випуски й відображає флуктуацію результату під впливом інших чинників.
Мультиплікативна функція, окрім властивості 1, має також властивість 2: із мірою зростання витрат ресурсів випуск збільшується, тобто
(2.1.9)
Часткові похідні випуску за чинниками називають граничними продуктами або граничними (маргінальними) ефективностями чинників; вони характеризують приріст випуску на невелику одиницю приросту чинника:
– гранична фондовіддача (гранична ефективність фондів);
– гранична продуктивність праці (гранична ефективність праці).
Для мультиплікативної функції з (2.1.9) випливає, що гранична фондовіддача пропорційна середній фондовіддачі із коефіцієнтом α, а гранична продуктивність праці – середній продуктивності праці із коефіцієнтом β:
При α < 1, β < 1 граничні віддачі чинників нижчі за середні; за цими самими умовами мультиплікативна функція має властивість 3, яка дуже часто спостерігається в реальній економіці: із міроюзростання витрат ресурсу його гранична віддача зменшується. З (2.1.6) також видно, що мультиплікативна функція має властивість 4, тобто за необмеженого збільшення одного із ресурсів випуск необмежено зростає. Отже, мультиплікативна функція за , є неокласичною.
Економічне тлумачення параметрів А, α, β, мультиплікативної ВФ. Параметр А тлумачиться як параметр нейтрального технічного прогресу: за тих самих α й β випуск у точці (К, L) тим більший, чим більше А. Щоб тлумачити α, β необхідно ввести поняття еластичностей як логарифмічних похідних чинників:
(2.1.10)
Оскільки у нашому випадку
То
тобто α – еластичність випуску за основними фондами; β – еластичність випуску за працею.
З (2.1.10) видно, що коефіцієнт еластичності чинника означає, на скільки відсотків збільшиться випуск, якщо чинник зросте на 1%. Якщо α > β, має місце працезбережувальне (інтенсивне) зростання, у противному випадку – фондозбережувальне (екстенсивне) зростання.
Розглянемо темп зростання випуску:
(2.1.11)
Якщо піднести обидві частини (2.1.8) до ступеня , одержимо співвідношення:
(2.1.12)
праворуч – зважене середнє геометричне темпів зростання витрат ресурсів, тут за вагові коефіцієнти беруть відносні еластичності чинників:
(2.1.13)
За випуск зростає швидше, ніж у середньому збільшуються чинники, а за – повільніше. Насправді, якщо чинники зростуть (тобто Kt+1 > Kt, Lt+1 > Lt), то згідно з (2.1.13) збільшиться й випуск (тобто Yt+1 >Yt); тож за маємо:
. (2.1.14)
Отже, насправді темп зростання випуску перевищує середній темп зростання чинників. За ВФ описує економіку, що зростає .
Під час вивчення чинників зростання економіки видокремлюють екстенсивні чинники зростання (за рахунок збільшення затрат ресурсів, тобто збільшення масштабу виробництва) й інтенсивні чинники зростання (за рахунок підвищення ефективності використання ресурсів).
За допомогою ВФ можна відобразити масштаб та ефективність виробництва, якщо випуск і витрати виражені у порівняльних одиницях, наприклад представлені у вартісній формі. Однак проблема зіставлення сьогоденної і минулої праці й досі не маєт позитивного розв’язання.
У відносних показниках мультиплікативну ВФ записують так:
(2.1.15)
де Y0 , K0 , L0 — значення випуску й витрат фондів і праціув базовому році.
Безрозмірну форму (2.1.15) легко привести до початкового вигляду:
Отже, А – це коефіцієнт, який порівнює ресурси із випуском.
Якщо позначити випуск та ресурси у відносних (безрозмірних) одиницях вимірювання через то ВФ у формі (2.1.15) запишеться так:
. (2.1.16)
Знайдемо ефективність економіки, представленою ВФ (2.1.16). Оскільки часткові показники ефективності (– фондовіддача, – продуктивність праці) мають однакову розмірність (точніше, вони однаково безрозмірні), то можна знайти будь-які середні з них. Оскільки ВФ виражена в мультиплікативній формі, то й середні взято в тій самій формі, тобто ВФ є середньогеометричним значенням.
Отже, узагальнений показник економічної ефективності є зваженим середнім геометричним часткових показників економічної ефективності, а саме:
, (2.1.17)
тут роль вагових коефіцієнтів відіграють відносні еластичності (2.1.10), тобто часткові ефективності беруть участь у створенні узагальненої ефективності з такими самими пріоритетами, з якими входять до ВФ відповідні ресурси.
З (2.1.17) випливає, що за допомогою коефіцієнта економічної ефективності ВФ перетворюється на форму, яка зовні збігається із функцією Кобба-Дугласа:
, (2.1.18)
але у співвідношенні (2.1.18) Е не є постійним коефіцієнтом, а функціонально залежить від (К, L).
Оскільки масштаб виробництва М виявляється в обсязі витрачених ресурсів, то згідно із міркуваннями, що були наведені стосовно розрахунків узагальненого показника економічної ефективності, середня кількість використаних ресурсів (масштаб виробництва) дорівнює:
. (2.1.19)
З (2.1.18) та (2.1.19) випливає, що випуск є добутком економічної ефективності та масштабу виробництва:
= ЕМ. (2.1.20)
Можна відійти від описаного вище виду ВФ і розглянути залежність результату виробництва (Y) не безпосередньо через значення чинників виробництва, а опосередковано – через чинники, які впливають як на величину (оцінку) чинників, так і на ефективність. Самі чинники виробництва (капітал, праця, НТП) є первинними (глобальними), а чинники, що впливають на них, – вторинними.
Вторинні чинники можна розглядати по-різному. З одного боку, це чинники, що впливають на величину глобальних чинників, з іншого – на їхню ефективність. Наведемо приклад такої класифікації чинників.
Жива праця у сфері виробництва:
- Чинники впливу на величину L:
- тривалість робочого року, тижні, дні;
- віковий склад робочої сили;
- статевий склад робочої сили.
- Чинники впливу на продуктивність праці:
- рівень загальної освіти;
- рівень професійної освіти;
- рівень навичок (тривалість роботи за фахом);
- рівень і система оплати праці.
Виробничі фонди (колишня праця)
- Чинники, що впливають на величину К:
- погодинне завантаження фондів і рівень використання потенційних потужностей;
- швидкість обігу фондів.
- Чинники, що впливають на оцінку продуктивності фондів:
- технічний рівень і рівень морального зносу фондів;
- галузевий розподіл фондів;
- територіальний розподіл фондів;
- масштаби виробництва.
Розвиток чинникового підходу передбачає не так удосконалення методу виробничої функції, як поглиблену економічну й статистичну роботу.
2.3. Модель Солоу. Трисекторна модель економічного зростання
- Модель Солоу також є односекторною моделлю економічного зростання. Економічна система розглядається як єдине ціле, що виробляє один універсальний продукт, який можна споживати й інвестувати. Модель доволі адекватно відображає найважливіші макрекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт – імпорт у явному вигляді в ній не враховано.
Стан економіки в моделі Солоу визначають такі п’ять ендогенних змінних:
X – валовий внутрішній продукт (ВВП);
С – фонд невиробничого споживання;
І – інвестиції;
L – кількість зайнятих;
К – фонди.
Окрім того, в моделі використовують такі екзогенні показники (задані поза системою) :
v – річний темп приросту кількості зайнятих;
μ – частка основних виробничих фондів, що вибули за рік ;
ρ – частка нагромадження (частка валових інвестицій у валовому внутрішньому продукті).
Екзогенні параметри перебувають у таких межах: -1 < v < 1, 0 < μ< 1, 0 < ρ < 1.
Припускається, що ендогенні змінні змінюються з часом (аргумент t пропущено, але він присутній за визначенням). Екзогенні показники вважаються постійними у часі, причому норма нагромадження опичення є керівним параметром, тобто в початковий момент часу може встановлюватися керівним органом системи з огляду на будь-яке гранично допустиме значення.
Час t вважається безперервним і вимірюється у роках. Для поточних значень показників L=L(t), К=K(t) є природним, оскільки в принципі у будь-який день можна з’ясувати кількість зайнятих і – шляхом інвентаризації – обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоків X = X(t), I = I(t), С = C(t) у момент t = [t] + {t} визначають у вигляді нагромаджених за рік, що починається на {t} днів пізніше 1 січня року [t].
Припускають, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією
X=F(K,L). (2.1.21)
Згідно із визначенням темпу приросту
або ,
тому
InL = vt + lnA, L = Aevt .
Використовуючи початкову умову L(0) = L0, одержуємо L = L0evt.
Знос та інвестиції у розрахунку на рік дорівнюють μK та I відповідно, а за час Δt – становить відповідно μKΔt , Iδt, тому приріст фондів за цей час дорівнюватиме ΔК = –μKΔt + IΔt, звідки маємо диференціальне рівняння:
, К(0) = К0.
Інвестиції та фонд споживання виражають через ВВП таким чином:
І = ρХ, С = (1 – ρ)Х.
Отже, маємо такий запис моделі Солоу в абсолютних показниках:
L = L0evt; ;
K(0) = K0.Х = F(K,L); (2.1.22)
І = ρХ;
С = (1 – ρ)Х.
Оскільки
то запис моделі у питомій вазі показників набуває форми:
(2.1.23)
Отже, кожен абсолютний або відносний показник змінюється в часі, тобто можна говорити про траєкторію системи в абсолютних або відносних показниках.
Траєкторію називають стаціонарною, якщо показники з часом не змінюються:
k = k0 = const, х = х0 = const, I = I0 = const, с = с0 = const.
Як видно з формул (2.1.23), перебування фондоозброєності на постійному рівні kE приводить до виходу на стаціонарну траєкторію. На стаціонарній траєкторії , тому
,
або (2.1.24)
.
Якщо k0 = kE, то економіка, яка вже перебуває на стаціонарній траєкторії, може зійти з неї лише в разі зміні зовнішніх умов (встановлення іншого значення норми нагромадження, перехід до нових технологій зі зміною функції F(K, L)).
За k0 ≠ kE в економіці відбуватиметься перехідний процес, який завершиться встановленням стаціонарного режиму. В перехідному режимі фондоозброєність задовольняє рівнянню:
k(0) = k0 , (2.1.25)
причому за k < kE та k > kE.
Диференціюванням (2.1.25) знаходимо
, (2.1.26)
звідки видно, що
а) за < маємо > 0,
б) за < k < kE, навпаки, < 0,
в) за k > kE завжди > 0, оскільки < kE.
Розглянемо перехідний процес для випадку, коли виробничу функцію описано функцією Кобба-Дугласа (2.1.7) F(K,L) = .
Тоді f(k) = Akα, , а рівняння (2.1.25) набуває вигляду
(2.1.27)
Зробивши заміну k =u, u = , одержимо для и рівняння із розділеними змінними:
яке має такий розв’язок:
а з використанням значення стаціонарної фондоозброєності запишеться як:
u(t) = [(kE)1-αe(1-α)λt + (k0)1-α – (kE)1-α]1/1-α.
Повертаючись до фондоозброєності, отримаємо
k(t) = [ (kE)1-α +((k0)1-α – (kE)1-α)e(1-α)λt]1/1-α,
звідки видно, що
Відповідно до (2.1.26) одержуємо три типи перехідного процесу стосовно фондоозброєності:
1) за k0 < k – спочатку відбувається пришвидшене зростання фондоозброєності, яке після досягнення значення k переходить на повільне зростання;
2) за < k0 < kE спостерігаємо вповільнене зростання фондоозброєності;
3) за k0 > kE – уповільнений спад фондоозброєності («проїдання» фондів).
Таким чином, за < k0 < kE існує зовсім короткий перехідний процес.
У реальній економіці освоєння капітальних вкладень відбувається із запізненням, тобто інвестиції перетворюються на фонди не миттєво, а впродовж певного часу.
Існують два підходи до моделювання запізнень. Перший полягає у тому, що запізнення відбувається із фіксованим лагом τ, тим самим введення фондів у момент V(t) є просто інвестиціями, зробленими в момент t -τ, тобто
V(t) = I(t – τ). (2.1.28)
Другий підхід полягає у використанні розподіленого лага. При цьому передбачають, що інвестиції, зроблені в момент τ обсягом I(τ), на далі будуть освоюватимуть поступово, частками, згідно із певним розподілом N(t,τ)>0, причому . Оскільки інвестиції здійснюються не лише в якийсь фіксований момент часу, а взагалі у будь-який момент τ, то до часу t накопичується обсяг фондів, які підлягають введенню, а саме:
V(t)= . (2.1.29)
Якщо процес інвестування і введення в дію має стаціонарний характер, тоді N(t, τ)=N(t – τ). Отже, (2.1.29) можна переписати таким чином:
V(t)= . (2.1.30)
Далі приймаємо, що розподіл N(t- τ) є показниковим:
,
тому
. (2.1.31)
В результаті прямого диференціювання (2.1.31) маємо
(2.1.32)
Додаючи останнє рівняння до відповідним чином скоригованої системи рівнянь стандартної моделі Солоу, одержуємо односекторну модель економіки з урахуванням затримки введення фондів:
Х = I+ С;
X = F(K,L);
dK/dt = -μK + V, K(0) = K0; (2.1.33)
dV/dt = ωI – ωV;
L = L0 eνt.
Перше рівняння (2.1.33) – баланс розподілу ВВП на інвестиції та невиробниче споживання; друге – виробнича функція валового внутрішнього продукту залежно від ресурсів; третє – динаміка фондів залежно від зносу й уведення фондів; четверте – динаміка введення фондів із урахуванням інвестицій і затримки введення фондів; п’яте – динаміка трудових ресурсів.
Якщо, подібно до попередніх параграфів, вважати, що виробнича функція є лінійно-однорідною неокласичною, то рівняння (2.1.33) можна представити так: (i = I/L , c= C/L, f = F/L, ν = V/L):
(2.1.34)
Стаціонарна точка диференціальних рівнянь (2.1.34) задається такими алгебраїчними рівняннями:
. (2.1.35)
Розв’язавши цю систему рівнянь відносно vE, отримаємо рівняння для kE,
– λυkE + ωρf(kE) = 0. (2.1.36)
Якщо f′‘(0) = ∞, f(k)>0, f″(k)<0, то (2.1.36) має один розв’язок (виключаючи тривіальний kE = 0).
- Трисекторна модель економічного зростання [34]. Економіку в моделі поділяють на три сектори: матеріальний (нульовий) – виробляє предмети праці; фондоутворювальний (перший) – виробництво засобів праці; споживчий (другий) сектор – виробництво предметів споживання.
Припускають, що за кожним сектором закріплено основні виробничі фонди (ОВФ), тоді як праця й інвестиції можуть вільно пересуватися між секторами.
Окрім того, застосовують припущення, аналогічні до зроблених в односекторній моделі Солоу, яка відіграє роль базової.
- Технологічний устрій вважається сталим і визначається за допомогою лінійно-однорідних неокласичних виробничих функцій
Xi = Fi(Ki,Li,) i = 0,1,2,
де Xi, Ki, Li – відповідно випуск, ОВФ і кількість зайнятих у i-му секторі.
- Загальна кількість зайнятих L (у виробничій сфері) змінюється із постійним темпом приросту v.
- Лаг капіталовкладень відсутній.
- Коефіцієнти зносу ОВФ μi і прямих матеріальних витрат аi секторів постійні.
- Економіка закрита, тобто зовнішня торгівля напряму не розглядається.
- Час t змінюється безперервно.
Припущення (2) в дискретному часі має вигляд (t – номер року):
у разі переходу до безперервного часу набуває форми диференціального рівняння:
яке має такий розв’язок:
(2.1.37)
ІЗ припущень (3, 4) виходить, що зміна за рік ОВФ i-го сектору складається з двох частин: зносу (-μiKi) та приросту за рахунок валових капіталовкладень (+Іі), тобто:
Ki(t+1) – Ki(t) = -μiKi(t) + Іі(t), i = 0,1,2,
або в безперервному часі:
Ki(t+Δt) – Ki(t) = –[μiKi(t) + Іі(t)]Δt,
за Δt → 0 одержуємо диференціальні рівняння для ОВФ секторів:
(2.1.38)
Далі індекс часу t скрізь пропущено, але передбачається за визначенням. ОВФ і кількість зайнятих у секторах (Ki, Li) є миттєвими показниками, тобто їхні значення можна визначити (виміряти) у будь-який момент часу t. Випуск секторів, інвестиції (Xi, Ii) є показниками типу потоку, тобто їхні значення нагромаджуються за рік, що розпочинається у момент t.
Отже, для зроблених припущень трисекторна модель економіки в абсолютних показниках набуває вигляду (2.1.39):
– кількість зайнятих;
L0 +L1 + L2 =L – розподіл зайнятих за секторами;
– динаміка фондів за секторами; (2.1.39)
Xi = Fi(Ki,Li), i = 0,1,2 – випуск за секторами;
X1 = I0 +I1 + I2 – розподіл продукції фондоутворювального сектору;
X0 = a0X0 +a1X1 + a2X2 – розподіл продукції матеріального сектору,
де Ii – інвестиції у -й сектор; v – темп приросту кількості зайнятих; μi –коефіцієнти вибуття ОВФ за секторами; ai – коефіцієнти прямих матеріальних витрат за секторами.
Трисекторна модель є динамічною, оскільки містить чотири лінійні динамічні елементи. Вона нелінійна, оскільки випуски секторів задані нелінійними виробничими функціями.
У відносних показниках модель набуває форми:
θ0 + θ1 + θ2 = 1, θi > 0, i = 0,1,2,
s0 + s1 + s2 = 1, si > 0, i = 0,1,2,
(2.1.40)
де θi = частка числа зайнятих у і-му секторі із загальної кількості зайнятих;
частка інвестицій у і–й сектор у загальному обсязі інвестицій;
продуктивність праці в і– му сектору;
народногосподарська продуктивність і-го сектора.
У моделі (2.1.40) параметри а0,а1,а2, μ0,μ1,μ2, v є екзогенними і вважаються сталими. Параметри (θ, s) = (θ0, θ1, θ2, s0, s1, s2) – є керівними. Рівняння для фондоозброєності має таку стаціонарну точку за умови, що (θ, s) постійні:
За ki < ki0, як видно із (2.1.40), > 0, а за ki > ki0 значення < 0, тому , (за kj0 < kj0 є зростаючими, фондоозброєність наближається до стаціонарного значення, а за kj0 > kj0 – спадними). Шляхом регульованого перерозподілу праці можна забезпечити монотонне наближення фондоозброєності до стаціонарного значення.